Mate
Para razonar y comprender
Categoría: Geometría Euclidiana
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Los axiomas formalizan la noción de «estar entre», permitiendo definir conceptos como segmento, rayo, y polígonos, así como establecer propiedades de ordenamiento geométrico. Relación primitiva: «Entre» Relación ternaria: Dados tres puntos A, B, C alineados, se dice que B está entre A y C (notación: A-B-C). Propiedad: Ordena los puntos alineados En la geometría de Hilbert, los axiomas de…
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Los axiomas formalizan la noción de «estar entre», permitiendo definir conceptos como segmento, rayo, y polígonos, así como establecer propiedades de ordenamiento geométrico. Relación primitiva: «Entre» Relación ternaria: Dados tres puntos A, B, C alineados, se dice que B está entre A y C (notación: A-B-C). Propiedad: Ordena los puntos alineados Axioma II1 (Propiedad Simétrica) Si B está entre…
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Teorema «Dos rectas secantes determinan un único plano al cual pertenecen.» Gráfico. ? ? Demostración ? Tarea Te animas a completar la hipótesis, la tesis y la demostración, más algún gráfico de ayuda. Ver como ayuda Teorema 1 y Teorema 2.
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Teorema «Una recta y un punto exterior a ella determinan un único plano al cual pertenecen.» P es un punto exterior a r. P y r determinan un único plano. P pertenece al plano. r está incluida en el plano. Demostración Por el axioma I2 sabemos que la recta r tiene a lo sumo dos…
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Teorema «Si dos rectas distintas tienen a lo sumo un único punto en común.» r y s son rectas distintas. r y s tienen intersección. La intersección es un único punto. Demostración Vamos a realizar la demostración por reducción al absurdo. Supongamos que no tenemos un único punto de intersección, tenemos dos puntos. Por el…
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Rectas Secantes (que se intersecan) r ∩ s={P} Dos rectas son secantes si su intersección es un único punto. Dos rectas en un plano deben ser secantes o paralelas.
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Definición Dos rectas r y s son paralelas (r ∥ s) si y solo si: Son coplanares (existe un plano α tal que r ⊂ α y s ⊂ α). No se intersecan (r ∩ s=∅) o son coincidentes (r=s). Observación: En el espacio tridimensional, rectas que no se cortan pero no son coplanares se llaman alabeadas (ej.: una recta en el plano xy y otra en el plano xz que no se intersecan).
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En la geometría axiomática de Hilbert, los axiomas de incidencia (enlace o conexión) no solo se basan en conceptos primitivos no definidos (punto, recta, plano), sino también en relaciones primitivas implícitas que conectan estos conceptos. Estas relaciones no se definen formalmente, pero su significado se deduce de cómo se usan en los axiomas. Aquí están…
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Relaciones entre Puntos y Rectas Estos axiomas describen cómo los puntos y las rectas interactúan: Axioma I1 (Unicidad de la recta): Dados dos puntos distintos A y B, existe una única recta r que pasa por ambos. Notación: Implicación: Dos rectas distintas no pueden compartir más de un punto. Axioma I2 (Existencia mínima): Toda recta contiene al menos dos puntos. Propósito: Evita…
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¿Qué es la Geometría Euclidiana? La geometría euclidiana es el sistema geométrico basado en los postulados introducidos por Euclides en su obra Elementos (siglo III a.C.). Es la geometría clásica que estudia las propiedades del plano y el espacio tridimensional, donde valen axiomas como el de las paralelas y la congruencia de figuras. Características Fundamentales…
