Mate

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Teorema de Pitágoras (Triángulos Rectángulos)

Enunciado:
En todo triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa c es igual a la suma de los cuadrados de los catetos a y b:

Donde:

• c: hipotenusa (lado opuesto al ángulo recto).
• a y b: catetos (lados que forman el ángulo recto).

Ejemplo:
Si un triángulo rectángulo tiene catetos a = 3 y b = 4, entonces:

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¿Por qué no se aplica a triángulos no rectángulos?

El Teorema de Pitágoras es exclusivo para triángulos rectángulos. En otros tipos de triángulos:

a) Triángulos Acutángulos (3 ángulos agudos < 90°)

• La suma de los cuadrados de los dos lados menores es mayor que el cuadrado del lado mayor:
  
  Ejemplo:
  Para un triángulo con lados 5, 6, 7 (todos ángulos < 90°):
  
  Como 49 < 61, se cumple la relación.

b) Triángulos Obtusángulos (1 ángulo obtuso > 90°)

• El cuadrado del lado opuesto al ángulo obtuso es mayor que la suma de los cuadrados de los otros dos lados:
  
  Ejemplo:
  Para un triángulo con lados 3, 5, 7 (ángulo opuesto a 7 > 90°):
  
  Como 49 > 34, se cumple la relación.

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Generalización: Teorema del Coseno

Para cualquier triángulo (rectángulo, acutángulo u obtusángulo), la Teoreama del Coseno generaliza el Teorema de Pitágoras:

• Si γ = 90° (cos 90° = 0), recuperamos Pitágoras: c^2 = a^2 + b^2.
• Si γ < 90° (cos γ > 0): c^2 < a^2 + b^2.
• Si γ > 90° (cos γ < 0): c^2 > a^2 + b^2.

Ejemplo (Obtusángulo):
Para γ= 120° (cos 120° = -0.5), con a = 3, b = 4:

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Resumen Visual

Tipo de Triángulo	Relación entre lados	Ejemplo
Rectángulo	c^2 = a^2 + b^2	3, 4, 5
Acutángulo	c^2 < a^2 + b^2	5, 6, 7
Obtusángulo	c^2 > a^2 + b^2	3, 5, 7

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• Pitágoras solo vale en triángulos rectángulos.

• Para triángulos no rectángulos, usamos la Teorema del Coseno y las desigualdades
  c^2 ≶ a^2 + b^2 según el tipo de ángulo.

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