Razones Trigonométricas en un Triángulo Rectángulo

Las razones trigonométricas relacionan los ángulos agudos de un triángulo rectángulo con las proporciones entre sus lados. Se definen para un ángulo θ (distinto del ángulo recto) de la siguiente manera:

Definiciones Básicas

Dado un triángulo rectángulo con:

Hipotenusa (h): Lado opuesto al ángulo recto (el más largo).
Cateto opuesto (a): Lado opuesto al ángulo θ.
Cateto adyacente (b): Lado que forma el ángulo θ con la hipotenusa.

Las 6 razones trigonométricas principales son:

Razón	Definición	Fórmula
Seno (sen)	Cateto opuesto / Hipotenusa	$\sin \theta = \frac{a}{h}$
Coseno (cos)	Cateto adyacente / Hipotenusa	$\cos \theta = \frac{b}{h}$
Tangente (tg)	Cateto opuesto / Cateto adyacente	$\tan \theta = \frac{a}{b}$
Cosecante (cosec)	Hipotenusa / Cateto opuesto	$\csc \theta = \frac{h}{a}$
Secante (sec)	Hipotenusa / Cateto adyacente	$\sec \theta = \frac{h}{b}$
Cotangente (cotg)	Cateto adyacente / Cateto opuesto	$\cot \theta = \frac{b}{a}$

Relaciones Importantes

Identidad Fundamental:
$\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$
Relación entre tg, sen y cos:
$\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}$
Recíprocas:
$\csc \theta = \frac{1}{\sin \theta}, \quad \sec \theta = \frac{1}{\cos \theta}, \quad \cot \theta = \frac{1}{\tan \theta}$

Ejemplo Práctico

Problema:
En un triángulo rectángulo, el cateto adyacente a θ mide 4 y la hipotenusa mide 5. Hallar sen θ, cos θ y tg θ.

Solución:

Encontrar el cateto opuesto usando Pitágoras:
$a = \sqrt{h^2 - b^2} = \sqrt{5^2 - 4^2} = \sqrt{9} = 3$
Calcular las razones trigonométricas:
$\sin \theta = \frac{3}{5}, \quad \cos \theta = \frac{4}{5}, \quad \tan \theta = \frac{3}{4}$

Mnemotecnia para Recordar

Usa la palabra «SOH-CAH-TOA»:

SOH:
$\text{Seno} = \frac{\text{Opuesto}}{\text{Hipotenusa}}$
CAH:
$\text{Coseno} = \frac{\text{Adyacente}}{\text{Hipotenusa}}$
TOA:
$\text{Tangente} = \frac{\text{Opuesto}}{\text{Adyacente}}$

Aplicaciones

Las razones trigonométricas se usan para:

Resolver triángulos rectángulos (hallar lados o ángulos desconocidos).
Calcular alturas o distancias inaccesibles (ej: altura de un edificio usando el ángulo de elevación).
Modelar fenómenos periódicos en física e ingeniería (movimiento ondulatorio).

Las razones trigonométricas son herramientas fundamentales en geometría y ciencias aplicadas. Su dominio permite resolver problemas prácticos y teóricos con precisión.

Mate

Roberto Rodriguez