Mate

Definición

Un triángulo △ABC se llama isósceles si tiene al menos dos lados congruentes.

Por ejemplo:

Elementos clave:

• Vértice principal: El vértice común a los dos lados congruentes (en el caso AC ≅ BC, el vértice principal es C).
• Base: El lado no congruente (en el caso AC ≅ BC), la base es AB.
• Ángulos base: Los ángulos adyacentes a la base (∠A y ∠B) en el ejemplo anterior.

---

Base en los Axiomas de Hilbert

Congruencia de segmentos (Axioma III.1-III3):

• Permite afirmar que AC ≅ BC sin necesidad de medir longitudes.

Congruencia de ángulos (Axioma III.4-III.6):

• Más adelante, probaremos que los ángulos base de un triángulo isósceles son congruentes (Teorema del Triángulo Isósceles).

---

Propiedades Inmediatas

Simetría:

• Un triángulo isósceles tiene un eje de simetría que pasa por el vértice principal y el punto medio de la base (esto se demuestra con congruencia LAL).

Equivalencia:

• Si △ABC es isósceles con AC ≅ BC, entonces △ABC ≅ △BAC (por LAL).

---

Teorema Relacionado (Por Demostrar Más Adelante)

Teorema del Triángulo Isósceles:
En un triángulo isósceles, los ángulos opuestos a los lados congruentes son congruentes.

• Es decir, si AC ≅ BC, entonces ∠A y ∠B.

Demostración preliminar (usando congruencia LAL):

1. Compara △ABC consigo mismo, pero intercambiando A y B.
2. Por LAL: AC ≅ BC, ∠ACB es común, y BC ≅ AC.
3. Luego, △ABC ≅ △BAC, por lo que ∠A ≅ ∠B.

---

Importancia en el Sistema de Hilbert

• Minimalismo: La definición solo requiere congruencia de segmentos (sin ángulos).
• Jerarquía lógica: Los triángulos isósceles son la base para estudiar polígonos regulares y simetrías.

---

Caso Degenerado

• Si ,
  el triángulo es equilátero (un caso especial de isósceles).

---