Mate

Para razonar y comprender

Roberto Rodriguez

Profesor en Matemática y Cosmografía
Distancia entre dos puntos en el plano

Distancia entre dos puntos en el plano

Fórmula de Distancia entre Dos Puntos en el Plano (2D)

Dados dos puntos en el plano cartesiano:

  • A = (x_1, y_1)
  • B = (x_2, y_2)

La distancia euclidiana ( d(A, B) ) entre ellos se calcula con:

\boxed{d(A, B) = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}}

Explicación

Base en el Teorema de Pitágoras:

    • La distancia es la hipotenusa de un triángulo rectángulo cuyos catetos son las diferencias de las coordenadas x y y.

    Pasos para derivar la fórmula:

      • Calcular la diferencia horizontal:
        \Delta x = x_2 - x_1
      • Calcular la diferencia vertical:
        \Delta y = y_2 - y_1
      • Aplicar Pitágoras:
        d = \sqrt{(\Delta x)^2 + (\Delta y)^2}

      Ejemplo Práctico

      Puntos: A = (3, 1), B = (-2, 4)

      Diferencias:

        • Delta x = -2 - 3 = -5
        • \Delta y = 4 - 1 = 3

        Cuadrados:

          • (\Delta x)^2 = (-5)^2 = 25
          • (\Delta y)^2 = 3^2 = 9

          Distancia:

          d(A, B) = \sqrt{25 + 9} = \sqrt{34} \approx 5.83 \text{ unidades}

            Casos Especiales

            Puntos sobre una recta horizontal:

              • Si y_1 = y_2, la fórmula se reduce a d = |x_2 – x_1|$
              • Ejemplo: (4, 3) y (-1, 3) →
                d = \sqrt{(-1 - 4)^2 + 0^2} = 5

              Puntos sobre una recta vertical:

                • Si x_1 = x_2, d = |y_2 - y_1|
                • Ejemplo: (2, -5) y (2, 3) →
                  d = \sqrt{0^2 + (3 - (-5))^2} = 8

                Relación con Vectores

                • La distancia es la magnitud del vector
                  \overrightarrow{AB} = (x_2 - x_1, y_2 - y_1)

                d(A, B) = |\overrightarrow{AB}| = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}

                Aplicaciones

                • Geometría: Calcular perímetros, áreas o verificar propiedades de figuras (ej. triángulos isósceles).
                • Física: Distancia entre partículas en un plano.
                • Programación: Algoritmos de gráficos computacionales o colisiones en videojuegos

                Ejercicio propuesto:
                ¿Cuál es la distancia entre (0, -1) y (5, 2)?

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