¿Qué es una función lineal?

Una función lineal es una función polinómica de primer grado de la forma:

$f(x) = mx + b$

Dominio y codominio:

Por defecto,
$f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$
(está definida para todos los números reales).

La gráfica de una función lineal es una recta en el plano cartesiano.

Características clave:

Intersección con el eje y (ordenada al origen): Punto (0, b).
Pendiente (m): Determina la inclinación y dirección de la recta (ver punto 4).

Pendiente ( m ):
- Si m > 0: La recta es creciente.
- Si m < 0: La recta es decreciente.
- Si m = 0: La función es constante (f(x) = b).
Ordenada al origen ( b ):
- Indica dónde la recta corta al eje y.
- Si (b = 0), la recta pasa por el origen (0, 0) (función lineal homogénea).

La pendiente m se define como la razón de cambio de la función:

$m = \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{f(x_2) - f(x_1)}{x_2 - x_1}$

para cualquier par de puntos $(x_1, f(x_1)) \text{ y } (x_2, f(x_2))$ en la recta.

Interpretación:

La raíz de la función lineal es el valor de x que anula la función, es decir, donde f(x)=0:

$mx + b = 0 \implies x = -\frac{b}{m} \quad (m \neq 0)$

Geométricamente: Es la abscisa del punto donde la recta corta al eje x.
Función constante: Si $m = 0 \text{ y } b \neq 0$ , la función no tiene raíces (recta horizontal paralela al eje x).
Si m = 0 y b = 0, todos los x son raíces (recta y = 0).

Dada f(x) = 2x – 4:

Mate