¿Cuándo dos triángulos son congruentes?

Congruencia de Triángulos

En Geometría, la congruencia de triángulos se define mediante la congruencia de sus lados y ángulos correspondientes, utilizando los axiomas de congruencia (III1-III7). Aquí está la construcción rigurosa:

Definición Formal

Dos triángulos △ABC y △A’B’C’ son congruentes

$\triangle ABC \cong \triangle A'B'C'$

si y solo si se cumplen las siguientes seis condiciones:

Lados correspondientes congruentes:

$\overline{AB} \cong \overline{A'B'}$
$\overline{BC} \cong \overline{B'C'}$
$\overline{CA} \cong \overline{C'A'}$

Ángulos correspondientes congruentes:

$\angle BAC \cong \angle B'A'C'$
$\angle ABC \cong \angle A'B'C'$
$\angle ACB \cong \angle A'C'B'$

Nota: Gracias al Axioma LAL (III7), no es necesario verificar las seis condiciones en todos los casos (basta con ciertas combinaciones, como LAL, ALA o LLL).

Base en los Axiomas de Congruencia

Axioma III.1 (Transporte de segmentos):

Permite «mover» un segmento a una semirrecta dada, asegurando que
AB ≅ A’B’ puede construirse.

Axioma III.4 (Transporte de ángulos):

Garantiza que un ángulo puede copiarse en otro vértice, asegurando
∠BAC ≅ ∠B’A’C’.

Axioma III.7 (LAL):

Si dos triángulos coinciden en dos lados y el ángulo comprendido, son congruentes (esto reduce las condiciones necesarias).

Importancia de la Definición

Consistencia lógica:
- La congruencia de triángulos no depende de medidas, sino de relaciones entre partes.
Teoremas derivados:
- Igualdad de ángulos en triángulos isósceles.
- Propiedades de paralelogramos.
- Teorema de Pitágoras (en etapas posteriores).

La congruencia de triángulos se reduce a congruencia de partes fundamentales (lados y ángulos), evitando conceptos métricos. Los axiomas aseguran que estas comparaciones sean rigurosas y autosuficientes.

Mate

Roberto Rodriguez