¿Cómo determinar el dominio de funciones?

1. Determinación del dominio

Dependiendo del tipo de función, el dominio se restringe por ciertas condiciones:

a) Funciones polinómicas

Ejemplo: $f(x) = 3x^2 - 5x + 2$

Dominio: $\mathbb{R}$ (todos los números reales), porque no hay restricciones.

b) Funciones racionales (fracciones)

Ejemplo: $f(x) = \frac{1}{x - 2}$

Restricción: El denominador no puede ser cero $( x - 2 \neq 0 )$
Dominio: $\mathbb{R}_{\neq 2}$ (todos los reales excepto x = 2).

c) Funciones con raíces cuadradas

Ejemplo: $f(x) = \sqrt{x + 3}$

Restricción: El radicando debe ser $\geq 0 ( x + 3 \geq 0 )$
Dominio: $x \geq -3 \text{ intervalo } [-3, +\infty)$

d) Funciones logarítmicas

Ejemplo: $f(x) = \ln(x - 1)$

Restricción: El argumento debe ser > 0 ( x – 1 > 0 ).
Dominio: $x > 1 \text{ intervalo } (1, +\infty)$

e) Funciones definidas por partes

Ejemplo:
$f(x) = \begin{cases} x + 1 & \text{si } x < 0, \\ \sqrt{x} & \text{si } x \geq 0. \end{cases}$

Dominio:
Para x < 0, no hay restricción.
Para $x \geq 0$ , la raíz exige $x \geq 0$
Conclusión: $\mathbb{R}$ (aunque en $x \geq 0$ , la función cambia de forma).

2. Ejemplos adicionales

Función	Restricción	Dominio
$f(x) = \frac{x}{x^2 - 9}$	$x^2 - 9 \neq 0$	$\mathbb{R} \setminus {-3, 3}$
$f(x) = \sqrt{4 - x^2}$	$4 - x^2 \geq 0$	$[-2, 2]$
$f(x) = \frac{\sqrt{x}}{x - 5}$	$x \geq 0 ) y ( x \neq 5$	$[0, 5) \cup (5, +\infty)$

3. Pasos para hallar el dominio

Identificar el tipo de función (polinómica, racional, radical, etc.).

Buscar restricciones:

Denominadores ≠ 0.
Radicandos ≥ 0 (en raíces de índice par).
Argumentos de logaritmos > 0.

Expresar el dominio en notación de intervalo o conjunto.

4. Errores comunes

Olvidar restricciones ocultas: Por ejemplo, en $f(x) = \frac{\sqrt{x}}{x - 1}$ , el dominio requiere $x \geq 0 \text{ y } x \neq 1$
Confundir dominio con imagen: El dominio son las x permitidas; la imagen son las y resultantes.

5. Visualización gráfica

En gráficas, el dominio corresponde a los valores del eje x por los que pasa la función. Por ejemplo:

$f(x) = \sqrt{x}$ solo existe para $x \geq 0$ (mitad derecha del plano).
$f(x) = \frac{1}{x}$ no está definida en x = 0 (tiene una asíntota vertical allí).

Mate

Roberto Rodriguez