Mate

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Definición de Triángulo en la Geometría

Un triángulo es una figura geométrica básica construida a partir de segmentos y puntos no alineados. Aquí está su definición formal y propiedades derivadas:

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Definición Formal

Dados tres puntos no alineados A, B, y C, el triángulo △ ABC es la unión de los tres segmentos que los conectan:

Elementos:

• Vértices: Puntos A, B, C.
• Lados: Segmentos AB, BC, CA.
• Ángulos: ∠BAC, ∠ABC, ∠ACB.

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Base en los Axiomas de Hilbert

Axiomas de Incidencia (Grupo I):

• Los puntos A, B, C no están alineados (existe un único plano que los contiene).

Axiomas de Orden (Grupo II):

• Los segmentos están bien definidos gracias a la relación «estar entre».

Axioma de Pasch (II4):

• Garantiza que cualquier recta que corte a un lado del triángulo y no pase por los vértices, cortará exactamente uno de los otros dos lados.

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Propiedades Clave

Convexidad del Interior:

• El interior de △ABC es la intersección de tres semiplanos:
  • El semiplano que contiene a C respecto a AB.
  • El semiplano que contiene a A respecto a BC.
  • El semiplano que contiene a B respecto a CA.
• Es convexo (si P y Q están en el interior, el segmento PQ también).

Frontera:

• La unión de los tres lados
  

Región Triangular:

• El triángulo incluye tanto su interior como su frontera.

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Ejemplo Visual

• Puntos interiores: Todos los puntos dentro del área delimitada por los lados.

• Puntos exteriores: Puntos fuera de la región triangular.

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Relación con Definiciones Previas

• Segmentos: Cada lado del triángulo es un segmento definido por dos vértices.
• Ángulos: Cada ángulo del triángulo es la unión de dos semirrectas con origen en un vértice.
• Semiplanos: El interior se define mediante intersecciones de semiplanos.

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Importancia en el Sistema Axiomático

Objeto básico para congruencia: Los axiomas de congruencia (LAL, ALA, LLL) se aplican a triángulos.

Teoremas fundamentales:

• Teorema del ángulo exterior.
• Desigualdad triangular.

Polígonos: Los triángulos son los polígonos más simples, base para definir polígonos complejos.

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Demostración de una Propiedad Básica

Proposición: El interior de un triángulo es no vacío.

• Demostración:

1. Por el Axioma de Pasch, cualquier segmento que une dos puntos en lados distintos corta el tercer lado.
2. Esto implica que hay puntos no pertenecientes a los lados (interior).

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Con esta definición, estamos listos para introducir los axiomas de congruencia y demostrar teoremas sobre triángulos congruentes. El triángulo es la piedra angular de la geometría euclidiana, y su definición en Hilbert es minimalista pero poderosa.

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