Las geometrías no euclidianas son sistemas geométricos que no cumplen uno o más de los postulados clásicos de la geometría euclidiana (basada en los Elementos de Euclides, siglo III a.C.). Surgen al cuestionar el quinto postulado de Euclides (el postulado de las paralelas), lo que llevó a descubrir espacios con curvatura, donde las reglas familiares (como «la suma de ángulos en un triángulo es 180°») ya no aplican.
El Quinto Postulado y su Ruptura
El postulado de las paralelas en Euclides dice:
«Por un punto exterior a una recta, pasa una y solo una recta paralela a ella.»
En el siglo XIX, matemáticos como Gauss, Lobachevsky y Bolyai exploraron qué pasaba si este postulado se negaba, dando origen a dos alternativas:
- Geometría Hiperbólica: «Existen infinitas paralelas por un punto exterior a una recta» (curvatura negativa).
- Geometría Elíptica: «No existen paralelas» (curvatura positiva, como en una esfera).
Estos sistemas son internamente consistentes y tan válidos como el euclidiano.
Tipos de Geometrías No Euclidianas
A. Geometría Hiperbólica (Curvatura Negativa)
- Propiedades clave:
- Suma de ángulos en un triángulo < 180°.
- Ejemplo: Modelo del semiplano de Poincaré (usando el semiplano superior (y > 0)) o el disco de Poincaré.
- Aplicaciones: Teoría de relatividad, arte (teselaciones de Escher).
B. Geometría Elíptica (Curvatura Positiva)
- Propiedades clave:
- Suma de ángulos en un triángulo > 180°.
- No existe el concepto de rectas paralelas (todas las «rectas» se intersectan).
- Ejemplo: Geometría esférica (como en la superficie de la Tierra).
C. Geometría Euclidiana (Curvatura Cero)
- Es el caso «clásico» donde el quinto postulado se cumple.
Ejemplos para Entender la Diferencia
Triángulos en Cada Geometría
| Geometría | Suma de Ángulos | Ejemplo Visual |
|---|---|---|
| Euclidiana | (180°) | Triángulo en una hoja de papel plana. |
| Hiperbólica | (< 180°) | Triángulo en una «silla de montar». |
| Elíptica | (> 180°) | Triángulo en una esfera (ej.: dos meridianos y el ecuador). |
Rectas Paralelas
- Euclidiana: Una única paralela.
- Hiperbólica: Infinitas paralelas.
- Elíptica: Ninguna paralela (todas se cruzan, como los meridianos en los polos).
¿Dónde se Usan Estas Geometrías?
- Física:
- La relatividad general de Einstein usa geometría no euclidiana para describir el espacio-tiempo curvo.
- Cosmología (forma del universo).
- Navegación: Rutas en la Tierra (geometría esférica).
- Arte y Diseño: Teselaciones hiperbólicas en obras de M.C. Escher.
- Teoría de Números: Superficies modulares en matemáticas avanzadas.
Las geometrías no euclidianas expandieron nuestra comprensión del espacio, demostrando que la geometría euclidiana es solo un caso particular (cuando la curvatura es cero). Hoy, son esenciales en física teórica, topología y más, mostrando que el universo puede ser mucho más complejo (y fascinante) de lo que imaginaba Euclides.
Mate 
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