Ángulos: Sistemas de Medición

¡Perfecto! Profundicemos en el punto 1: Ángulos y sus unidades de medida, centrándonos en los sistemas sexagesimal (grados) y circular o radial (radianes), su relación y cómo convertir entre ellos.

a) Sistema Sexagesimal (Grados)

Definición: Divide una vuelta completa en 360 partes iguales, llamadas grados (°).
1 giro = 360°
Subunidades:
Minutos (‘): 1° = 60’
Segundos (»): 1′ = 60»

Ejemplo:
25° 30′ 45» se lee como 25 grados, 30 minutos,45 segundos.

b) Sistema Circular o Radial (Radianes)

Definición: Mide el ángulo como la longitud del arco recorrido en una circunferencia de radio (1) (círculo unitario).
$1 \text{ giro} = 2\pi \text{ rad} \quad (\text{circunferencia completa})$
$1 \text{ rad} = \text{\'Angulo cuyo arco mide igual al radio.}$

Relación clave:

$\pi \text{ rad} = 180^\circ$

Ejemplo:

Un ángulo de 90° en radianes es:
$90^\circ \times \frac{\pi}{180^\circ} = \frac{\pi}{2} \text{ rad}$

Conversión entre Grados y Radianes

Usamos la proporción basada en la igualdad fundamental π rad = 180°:

Fórmulas de Conversión:

$\text{Rad} = \text{Grados} \times \frac{\pi}{180^\circ}, \quad \text{Grados} = \text{Rad} \times \frac{180^\circ}{\pi}$

Ejemplos:

Convertir (60°) a radianes:
$60^\circ \times \frac{\pi}{180^\circ} = \frac{\pi}{3} \text{ rad}$
Convertir (\frac{3\pi}{4}) rad a grados:
$\frac{3\pi}{4} \times \frac{180^\circ}{\pi} = 135^\circ$

Tabla de Equivalencias Comunes

Grados	Radianes
0°	$0$
30°	$\frac{\pi}{6}$
45°	$\frac{\pi}{4}$
60°	$\frac{\pi}{3}$
90°	$\frac{\pi}{2}$
180°	$\pi$
360°	$2\pi$

¿Por qué usar radianes?

Matemáticas avanzadas: Simplifica cálculos en cálculo diferencial e integral (e.g.,
$\frac{d}{dx} \sin x = \cos x$
solo en radianes).
Círculo unitario: Facilita la definición de funciones trigonométricas para cualquier ángulo.

Ejemplo práctico:
La longitud de un arco (s) en una circunferencia de radio r y ángulo central θ en radianes es:

s = r θ
(Si θ = 1, entonces s = r)

Ejercicios de Práctica

Convierte 150° a radianes.
Solución:
$150^\circ \times \frac{\pi}{180^\circ} = \frac{5\pi}{6} \text{ rad}$
Convierte (\frac{7\pi}{4}) rad a grados.
Solución:
$\frac{7\pi}{4} \times \frac{180^\circ}{\pi} = 315^\circ$
¿Cuántos radianes hay en un ángulo de 270°?
Solución:
$270^\circ \times \frac{\pi}{180^\circ} = \frac{3\pi}{2} \text{ rad}$

Conclusión

Sistema sexagesimal: Ideal para aplicaciones cotidianas y mediciones simples.
Sistema radial: Esencial en matemáticas superiores y física.
Conversión: Usa π rad = 180° como base.

Mate

Roberto Rodriguez