Sistema de coordenadas en el espacio (3D)

El sistema de coordenadas cartesianas en tres dimensiones (3D) extiende el plano 2D añadiendo un tercer eje: el eje Z, que representa la profundidad o altura. Es esencial para modelar objetos físicos, gráficos por computadora, ingeniería y más.

Elementos básicos

Ejes y planos

Eje X: Horizontal (izquierda-derecha).
Eje Y: Vertical (arriba-abajo).
Eje Z: Profundidad (adelante-atrás).
Origen: Punto ((0, 0, 0)) donde se cruzan los tres ejes.
Planos principales:
XY: Plano horizontal (como el plano 2D).
XZ: Plano vertical frontal.
YZ: Plano vertical lateral.

Representación gráfica:

Coordenadas en 3D

Un punto en el espacio se representa con una terna ordenada ((x, y, z)):

x = desplazamiento en el eje X.
y = desplazamiento en el eje Y.
z = desplazamiento en el eje Z.

Ejemplo:

El punto (3, 4, 5) significa:
3 unidades a la derecha (eje X).
4 unidades hacia arriba (eje Y).
5 unidades hacia adelante (eje Z).

Octantes

El espacio 3D se divide en 8 regiones llamadas octantes, similares a los cuadrantes en 2D. Se numeran según el signo de (x, y, z):

Octante	(x)	(y)	(z)	Ejemplo
I	+	+	+	(2, 3, 4)
II	–	+	+	(-1, 5, 2)
III	–	–	+	(-3, -2, 1)
IV	+	–	+	(4, -1, 3)
V	+	+	–	(1, 2, -5)
VI	–	+	–	(-2, 4, -3)
VII	–	–	–	(-5, -1, -2)
VIII	+	–	–	(3, -4, -6)

Distancia entre dos puntos en 3D

La fórmula es una extensión del caso 2D, incluyendo el eje (Z):

$\boxed{d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2}}$

Ejemplo:

Punto A(1, 2, 3) y B(4, 6, 5).
Cálculo:
$d = \sqrt{(4-1)^2 + (6-2)^2 + (5-3)^2} =\\ \sqrt{9 + 16 + 4} = \sqrt{29} \approx 5.39$

Aplicaciones del sistema 3D

Videojuegos y gráficos: Modelado 3D, realidad virtual.
Ingeniería: Diseño CAD, arquitectura.
Física: Movimiento de proyectiles, fuerzas en 3D.
Medicina: Imágenes por resonancia magnética (MRI).

Ejercicios propuestos

Ubica los puntos en un sistema 3D:

(2, -3, 4) → Octante IV.
(-1, -5, -2) → Octante VII.

Calcula la distancia entre (0, 0, 0) y (1, 1, 1).
Solución:
$d = \sqrt{3} \approx 1.73$
Si un avión vuela de (10, 20, 5) a (30, 40, 10), ¿qué distancia recorrió?
Solución:
$d = \sqrt{(30-10)^2 + (40-20)^2 + (10-5)^2} =\\ \sqrt{400 + 400 + 25} = \sqrt{825} \approx 28.72$

Mate

Roberto Rodriguez