¿Qué es un segmento?

La definición de segmento se construye a partir de los axiomas de orden y la relación primitiva «estar entre» (A – B – C). Aquí está la definición precisa:

Definición Formal

Dados dos puntos distintos A y B, el segmento de extremos A y B es el conjunto formado por:

Los puntos A y B (extremos del segmento).
Todos los puntos P tales que P está entre A y B (es decir,
A – P – B).

En símbolos:

$\overline{AB} = \{A, B\} \cup \{P \mid A-P-B\}$

Interior del Segmento

El interior de un segmento de extremos A y B, es el conjunto formado por todos los puntos que están entre A y B

$\text{Int }\overline{AB} = \{P \mid A-P-B\}$

Base en los Axiomas de Orden

Axioma II2 (Existencia de puntos intermedios):

Garantiza que, si A y B son distintos, existe al menos un punto P con A – P – B.
Por tanto, el segmento contiene infinitos puntos (no solo A y B).

Axioma II4 (Unicidad del orden):

Asegura que los puntos están totalmente ordenados.
Ejemplo: Si A – P – B y A – Q – B, entonces P – Q – B o Q – P – B.

Axioma II1 (Simetría):

$\overline{AB} = \overline{BA} \text{, pues } A-P-B \iff B-P-A$

Propiedades Clave del Segmento

Convexidad:

Si
$P, Q \in \overline{AB} \text{, entonces } \overline{PQ} \subseteq \overline{AB}$

Finitud geométrica:

Aunque contiene infinitos puntos, el segmento es «acotado» por A y B.

Segmento Nulo

Si A = B, entonces
$\overline{AA} = {A}$

Importancia en la Geometría

Fundamento para congruencia:
La comparación de segmentos requiere primero su definición.
$\overline{AB} \cong \overline{CD}$
Construcción de figuras:
Triángulos, polígonos y otras figuras se definen mediante segmentos.
Teoremas clave:
El teorema de la barra transversal usa segmentos para demostrar propiedades de intersección.

Contraste con la Geometría Euclidiana Clásica

Euclides: Asumía intuitivamente que un segmento era «la distancia más corta entre dos puntos».
Hilbert: Define el segmento sin usar métricas, solo con relaciones de orden.

Demostración Relacionada

Proposición:
$\text{Si } C\in \overline{AB} \text{ y } D \in \overline{CB} \text{, entonces } D \in \overline{AB}$

Demostración:

$C \in \overline{AB} \implies A-C-B$
$D \in \overline{CB} \implies C-D-B$
Por transitividad del orden (implícita en los axiomas), A-D-B, luego
$D \in \overline{AB}$

El segmento AB es la primera figura geométrica no trivial definida en el sistema de Hilbert, y su construcción depende críticamente de los axiomas de orden. Esta definición permite avanzar hacia conceptos más complejos como ángulos, triángulos y congruencia, manteniendo el rigor lógico característico de la geometría axiomática.

Mate

Roberto Rodriguez