¿Qué es el dominio de una función?

El dominio de una función es uno de los conceptos fundamentales en el estudio de las funciones, y entenderlo correctamente es clave para trabajar en cálculo y análisis matemático. Aquí te lo explico de manera clara y completa:

Definición formal

El dominio de una función f, denotado como Dom (f), es el conjunto de todos los valores de entrada (valores de x) para los cuales la función está definida y devuelve un valor de salida real y:

$\text{Dom}(f) = { x \in \mathbb{R} \mid f(x) \text{ existe y es finito} }.$

Explicación intuitiva

Imagina una función como una máquina:

Dominio: Son todos los «alimentos» que puedes meter en la máquina sin que se rompa.
Si introduces algo fuera del dominio (ej.: dividir por cero), la máquina «falla».

Ejemplo simple:
Para
$f(x)=\sqrt{x}$
el dominio son todos los x≥0, porque no existe raíz cuadrada real de números negativos.

¿Cómo determinar el dominio?

Depende del tipo de función. Aquí las reglas principales:

a) Funciones polinómicas (ej. f(x) = x^2 + 3x – 5)

Dominio: Todos los números reales R.
¿Por qué? No hay restricciones como divisiones o raíces.

b) Funciones racionales (ej. f(x) = 1/(x-2))

Excluir valores que hagan el denominador cero:
$x - 2 \neq 0 \implies x \neq 2.$
Dominio:
$\mathbb{R} -\{2\}$
todos los reales excepto 2.

c) Funciones con raíces

Raíz cuadrada:
$\sqrt{g(x)}$
requiere
$g(x) \geq 0$
Ejemplo:
$f(x) = \sqrt{4 - x^2}$
$4 - x^2 \geq 0 \implies x^2 \leq 4 \implies -2 \leq x \leq 2$
Dominio: [-2, 2].

d) Funciones logarítmicas (ej. ( f(x) = \ln(x + 3) ))

El argumento debe ser positivo:
$x + 3 > 0 \implies x > -3$
Dominio:
$(-3, +\infty)$

Casos especiales

Funciones definidas por partes:
Ejemplo:
- Dominio: R (pero con comportamientos distintos en cada intervalo).
Funciones con restricciones externas (ej. contextos físicos):
- Si f(x) modela el área de un cuadrado de lado x, el dominio es x>0 (no existen lados negativos).

Errores comunes

Olvidar restricciones ocultas:
En
$f(x)=\frac{\sqrt{x}}{x - 1}$
el dominio requiere x ≥ 0 y x distinto de 1.
Confundir dominio con imagen:
El dominio son las x permitidas; la imagen son las y resultantes.

Método paso a paso para hallar el dominio

Identifica el tipo de función (polinómica, racional, radical, etc.).
Aplica las reglas según sus restricciones:
- Denominadores ≠ 0.
- Radicandos ≥ 0 (en raíces pares).
- Argumentos de logaritmos > 0.
Combina las condiciones si la función es una combinación de operaciones.

Ejemplo:
Para $f(x) = \frac{\sqrt{x + 2}}{x - 5}$

Raíz cuadrada: x + 2 ≥ 0 ⟹ x ≥ -2
Denominador: x – 5 distinto de 0 ⟹ x distinto 5.
Dominio: [-2, 5) ∪ (5, +∞)

Visualización gráfica

El dominio es el conjunto de valores x para los cuales la función tiene un punto en su gráfica.
Ejemplo: Gráfica de
$f(x)=\sqrt{x}$
Solo existe para x ≥ 0 (no hay gráfica a la izquierda del eje y).

Ejercicios para practicar

Determina el dominio de:

$f(x) = \frac{1}{\sqrt{x - 1}}$
$f(x) = \ln(4 - x^2)$
$f(x) = \frac{x + 5}{x^2 - 9}$

Importante: El dominio depende de cómo esté definida la función y del contexto. Siempre verifica las restricciones algebraicas y, si es aplicable, las condiciones del problema real.

Mate

Roberto Rodriguez