Mate

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Ángulos: Sistemas de Medida

a) Sistema Sexagesimal (Grados)

• Definición: Divide una vuelta completa en 360 partes iguales, llamadas grados (°).
  1 giro = 360°
• Subunidades:
  • Minutos (‘): 1° = 60’.
  • Segundos (»): 1′ = 60».

Ejemplo:
25° 30′ 45» se lee como 25 grados, 30minutos, 45 segundos.

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b) Sistema Circular o Radial (Radianes)

• Definición: Mide el ángulo como la longitud del arco recorrido en una circunferencia de radio 1 (círculo unitario).
  1 giro = 2π rad (circunferencia completa)
  1 radián = ángulo cuyo arco mide igual al radio.

• Relación clave:
  π = 180°

Ejemplo:

• Un ángulo de 90° en radianes es:
  90° × π/180° = π/2 rad

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Conversión entre Grados y Radianes

Usamos la proporción basada en la igualdad fundamental (\pi \text{ rad} = 180°):

Fórmulas de Conversión:

$latex
\text{Rad} = \text{Grados} \times \frac{\pi}{180°}, \quad \text{Grados} = \text{Rad} \times \frac{180°}{\pi}
$

Ejemplos:

1. Convertir (60°) a radianes:
   $latex
   60° \times \frac{\pi}{180°} = \frac{\pi}{3} \text{ rad}.
   $
2. Convertir (\frac{3\pi}{4}) rad a grados:
   $latex
   \frac{3\pi}{4} \times \frac{180°}{\pi} = 135°.
   $

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Tabla de Equivalencias Comunes

Grados	Radianes
0°	0
30°	π/6
45°	π/4
60°	π/3
90°	π/2
180°	π
360°	2π

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¿Por qué usar radianes?

• Matemáticas avanzadas: Simplifica las cuentas en cálculo diferencial e integral.
• Círculo unitario: Facilita la definición de funciones trigonométricas para cualquier ángulo.

Ejemplo práctico:
La longitud de un arco s en una circunferencia de radio r y ángulo central θ en radianes es:
s =r θ
(Si θ = 1 rad, entonces s = r).

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Ejercicios de Práctica

1. Convierte (150°) a radianes.
   Solución:
   $latex
   150° \times \frac{\pi}{180°} = \frac{5\pi}{6} \text{ rad}.
   $
2. Convierte (\frac{7\pi}{4}) rad a grados.
   Solución:
   $latex
   \frac{7\pi}{4} \times \frac{180°}{\pi} = 315°.
   $
3. ¿Cuántos radianes hay en un ángulo de (270°)?
   Solución:
   $latex
   270° \times \frac{\pi}{180°} = \frac{3\pi}{2} \text{ rad}.
   $

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Conclusión

• Sistema sexagesimal: Ideal para aplicaciones cotidianas y mediciones simples.
• Sistema radial: Esencial en matemáticas superiores y física.
• Conversión: Usa π = 180° como base.

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