Razones: Concepto y Aplicaciones Prácticas

Concepto de Razón

Una razón es una comparación entre dos cantidades mediante una división. Expresa la relación multiplicativa entre ellas.

Notación:
- Como fracción:
  $\dfrac{a}{b}$
- Con dos puntos:
  $a:b$

Interpretación
- «Por cada a unidades de la primera magnitud, hay b unidades de la segunda».

Ejemplo:
Si en un salón hay 12 niñas y 8 niños, la razón de niñas a niños es:
$\frac{12}{8} = \frac{3}{2} \quad \text{o} \quad 3:2$

Conceptos Matemáticos que Usan Razón

a) Proporción

Definición:
Una igualdad entre dos razones. Si
$\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$
entonces a, b, c y d forman una proporción.

Aplicación: Regla de tres, escalas, semejanza de figuras.

Ejemplo:
Si
$\frac{2}{3} = \frac{x}{9}$ ,
entonces x = 6.

b) Tasa (Razón con unidades diferentes)

Definición: Compara dos magnitudes con distintas unidades.

Ejemplos:
Velocidad:
$\frac{60 \text{ km}}{1 \text{ h}}$
Densidad:
$\frac{5 \text{ kg}}{2 \text{ m}^3}$

c) Porcentaje (%)

Definición: Razón donde el denominador es (100).
$\% = \frac{\text{Parte}}{\text{Total}} \times 100$

Ejemplo:
Si 20 de 50 estudiantes son zurdos:
$\frac{20}{50} \times 100 = 40\%$

d) Pendiente de una Recta

Definición: Razón entre el cambio vertical y horizontal
$\frac{\Delta y}{\Delta x}$

Fórmula:
$m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$

Ejemplo:
Entre los puntos (1, 2) y (3, 6):
$m = \frac{6-2}{3-1} = \frac{4}{2} = 2$

e) Probabilidad

Definición: Razón entre casos favorables y casos posibles.
$P(A) = \frac{\text{Casos favorables}}{\text{Casos totales}}$

Ejemplo:
Probabilidad de sacar un número par en un dado:
$\frac{3}{6} = \frac{1}{2}$

f) Trigonometría (Razones Trigonométricas)

Definición: Comparan lados de un triángulo rectángulo.

$\sin(\theta) = \frac{\text{opuesto}}{\text{hipotenusa}}$
$\cos(\theta) = \frac{\text{adyacente}}{\text{hipotenusa}}$

Ejemplo:
En un triángulo con ángulo $\theta$ donde el lado opuesto mide 3 y la hipotenusa 5:
$\sin(\theta) = \frac{3}{5}$

¿Por qué es importante?

Las razones son la base para:

Resolver problemas de proporcionalidad directa/inversa.
Analizar datos estadísticos (ej: razón hombre/mujer en una población).
Modelar fenómenos científicos (ej: química con proporciones en moles).

Mate

Roberto Rodriguez