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En la geometría axiomática de Hilbert, los axiomas de incidencia (enlace o conexión) no solo se basan en conceptos primitivos no definidos (punto, recta, plano), sino también en relaciones primitivas implícitas que conectan estos conceptos. Estas relaciones no se definen formalmente, pero su significado se deduce de cómo se usan en los axiomas. Aquí están las relaciones primitivas clave:

1. Relación de Incidencia (Pertenencia)

• Notación: A ∈ r, el punto A pertenece a la recta r.
• Descripción:
  • Establece cómo los puntos se asocian con rectas o planos.
  • Es la relación más básica y aparece en casi todos los axiomas de incidencia.
  • También se puede decir que A es un punto de r o que está en r.
• Ejemplos en axiomas:
• Axioma I1: «Dados dos puntos distintos A y B, existe una única recta r tal que A y B pertenecen a r.»
• Axioma I7: «Si A ∈ r, B ∈ r, y A, B ∈ α, entonces r ⊂ α«.

2. Relación de Contención (Inclusión)

• Notación: r ⊂ α la recta r está contenida en el plano α.
• Descripción:
  Indica que todos los puntos de una recta o plano pertenecen a otro objeto geométrico (ej.: una recta dentro de un plano).
• Ejemplo en axiomas:
  Axioma I7: Si dos puntos de una recta están en un plano, entonces r ⊂ α.

3. Relación de Intersección

• Notación: α ∩ β = r (dos planos α y β se intersecan en la recta r).
• Descripción:
  Especifica cómo dos objetos geométricos comparten puntos.
• Ejemplo en axiomas:
  Axioma I8: «Si (Si α ≠ β y ∃ A tal que A ∈ α y A ∈ β, entonces α ∩ β=r para alguna recta r».

4. Relación de No Pertenencia (Exclusión)

• Notación:
  
  (el punto A no está en la recta r).
• Descripción:
  Aunque es la negación de la incidencia, es crucial para garantizar la no trivialidad del espacio (ej.: puntos fuera de una recta o planos).
• Ejemplo en axiomas:
  Axioma I3: Dada una recta r, existe un punto C tal que:
  .

5. Relación de Colinealidad/Coplanaridad

• Notación implícita:
  Colinealidad: Tres puntos A, B, C están en una misma recta.
  Coplanaridad: Cuatro o más puntos están en un mismo plano.
• Descripción:
  No es una relación primitiva explícita en Hilbert, pero se deriva de las anteriores.
• Ejemplo en axiomas:
  Axioma I4 (Determinación del plano): «Si A, B, C son no colineales, entonces existe un único plano α que los contiene».

¿Por qué son «primitivas»?

• No definidas: Estas relaciones no se explican en términos más simples; son el «sustento lógico» que Hilbert usa para conectar puntos, rectas y planos.
• Autosuficientes: Todo teorema o definición posterior (ej.: segmentos, ángulos) se construye a partir de ellas y los axiomas.

Diagrama de Relaciones Primitivas

Puntos ───[Incidencia]───▶ Rectas ───[Contención]───▶ Planos  
                             ▲                            ▲  
                             └────[Intersección]───────┘  

Preguntas para Profundizar

¿Cómo se definiría «paralelismo» usando solo estas relaciones?

• Ayuda: Dos rectas son paralelas si no hay un punto que incida en ambas.

¿Podría eliminarse la relación de contención y expresarse solo con incidencia?

• Respuesta: Sí, pero los axiomas serían más complicados de enunciar.