Mate

Para razonar y comprender

Roberto Rodriguez

Profesor en Matemática y Cosmografía
Sistemas Coordenados en la Recta

Sistemas Coordenados en la Recta

En un sistema de coordenadas en la recta (o sistema unidimensional), cada punto sobre una línea recta queda determinado por un único número real llamado abscisa (o coordenada x). Veamos en qué consiste:

Elementos Básicos

Recta numérica (eje \mathbb{R} ):

  • Línea infinita horizontal o vertical donde se ubican los números reales.
  • Tiene un origen (punto O), una dirección positiva (usualmente a la derecha) y una negativa (a la izquierda).

Abscisa (x ):

  • Valor real que indica la posición de un punto respecto al origen.
  • Ejemplo: A = (5) está 5 unidades a la derecha del origen; B = (-3) está 3 unidades a la izquierda.

Propiedades Clave

Correspondencia biunívoca:
  • Cada punto de la recta tiene una única abscisa x \in \mathbb{R} , y viceversa.
Orden:
  • Si x_A < x_B , el punto A está a la izquierda de B.

Operaciones y Aplicaciones

a) Distancia entre dos puntos
  • Dados A = (x_A) y B = (x_B):
    d(A, B) = |x_B - x_A|
  • Ejemplo: Distancia entre (-2 ) y (4) es |4 - (-2)| = 6 unidades.
b) División de segmentos
  • Un punto P divide al segmento AB en una razón
    r = \frac{AP}{PB}
    Su abscisa es:
    x_P = \frac{x_A + r x_B}{1 + r} \quad (r \neq -1)
  • Caso especial: Punto medio (r = 1 ):
    x_P = \frac{x_A + x_B}{2}

Visualización

  • A = (3), B = (-2), O = (0).

Importancia

  • Es la base para sistemas en 2D (plano cartesiano) y 3D, donde se añaden las coordenadas y y z.
  • Aplicaciones en física (movimiento en línea recta), optimización (puntos críticos) y algoritmos (búsqueda en intervalos).

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