¿Qué es la Geometría Euclidiana?
La geometría euclidiana es el sistema geométrico basado en los postulados introducidos por Euclides en su obra Elementos (siglo III a.C.). Es la geometría clásica que estudia las propiedades del plano y el espacio tridimensional, donde valen axiomas como el de las paralelas y la congruencia de figuras.
Características Fundamentales
- Axiomas de Euclides:
- Postulado de las paralelas: Por un punto exterior a una recta, pasa exactamente una paralela (esto la distingue de geometrías no euclidianas).
- Otros postulados clásicos:
- «Dos puntos determinan una recta».
- «Todo segmento puede extenderse infinitamente».
- Espacio plano:
- La suma de los ángulos de un triángulo es siempre 180°.
- El teorema de Pitágoras se cumple.
- Objetos básicos:
- Puntos, rectas, planos, círculos, polígonos.
Comparación con Otras Geometrías
| Propiedad | Geometría Euclidiana | Geometría Hiperbólica | Geometría Elíptica |
|---|---|---|---|
| Paralelas | 1 única | Infinitas | 0 |
| Suma de ángulos (△) | 180° | < 180° | > 180° |
| Curvatura | Cero (plana) | Negativa | Positiva |
Relación con Hilbert
Hilbert modernizó la geometría euclidiana en Fundamentos de la Geometría (1899):
- Rigurosidad: Eliminó las definiciones intuitivas de Euclides (ej: «punto es lo que no tiene partes»).
- Axiomatización completa: Introdujo axiomas de incidencia, orden, congruencia, continuidad y paralelismo.
Ejemplos Típicos
En el plano:
- Las rectas paralelas nunca se cortan.
- Un cuadrado tiene cuatro ángulos rectos.
En el espacio:
- Dos planos paralelos no se intersecan.
Importancia Histórica y Pedagógica
- Es la base de la geometría escolar.
- Permite modelar el espacio físico cotidiano (arquitectura, ingeniería).
Mate 
Deja un comentario