Postulado I
(de la unicidad de la recta)
«Por dos puntos distintos pasa una única recta.»
- Explicación: Dados los puntos A y B, existe una sola recta AB que los contiene.
- Importancia: Define la noción básica de recta en geometría.
Postulado II
(de la continuidad de la recta)
«Un segmento rectilíneo puede prolongarse indefinidamente en una línea recta.»
- Explicación: Cualquier segmento AB puede extenderse a AB′ (por ejemplo, con B′ más allá de B).
- Importancia: Permite construir figuras infinitas y garantiza la infinitud del espacio.
Postulado III
(de la construcción del círculo)
«Dados un centro y un radio, puede trazarse una circunferencia.»
- Explicación: Con centro en O y radio OP, existe una única circunferencia que pasa por P.
- Importancia: Fundamental para construcciones geométricas (ej. Proposición 1 del Libro I).
Postulado IV
(de la igualdad de los ángulos rectos)
«Todos los ángulos rectos son iguales entre sí.»
- Explicación: No importa cómo se construya un ángulo recto (ej. con escuadra o compás), todos son iguales.
- Importancia: Establece la congruencia de ángulos rectos, clave para la uniformidad geométrica.
Postulado V
(de las paralelas)
«Si una recta corta a otras dos formando ángulos internos de un mismo lado menores que dos rectos, esas dos rectas prolongadas se cortan del lado en que están los ángulos menores que dos rectos.»
- Forma equivalente moderna: «Por un punto exterior a una recta, pasa una única paralela a ella.»
- Explicación: Si la suma de los ángulos internos de un lado es menor a 180∘, las rectas no son paralelas y se intersecan.
- Importancia:
- Distingue la geometría euclidiana de las no euclidianas (como la hiperbólica o esférica).
- Generó siglos de debate hasta el siglo XIX, cuando se descubrió que podía negarse sin contradicción.
¿Cuál es la importancia de los postulados?
- Bases de la geometría clásica: Casi toda la geometría escolar se deriva de ellos.
- Rigor lógico: Euclides separó axiomas (verdades evidentes) de postulados (propiedades geométricas no autoevidentes pero aceptadas).
- Influencia histórica: El 5º postulado llevó al desarrollo de geometrías alternativas (Lobachevsky, Riemann).
Mate 
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