Los axiomas de incidencia en la geometría de Hilbert establecen las relaciones fundamentales entre los conceptos primitivos (punto, recta y plano), sin depender de nociones como distancia o ángulos. Estos axiomas definen cómo estos objetos se conectan entre sí y garantizan la existencia de una estructura geométrica mínima. A continuación, se presenta su significado y contenido esencial:
Qué expresan los axiomas de incidencia
Determinan la existencia y unicidad de rectas y planos:
- Fijan que dos puntos definen una única recta, y tres puntos no colineales definen un único plano.
- Ejemplo:
- Axioma I1: Dados dos puntos distintos, existe una única recta que pasa por ambos.
Garantizan una geometría no trivial:
- Aseguran que hay suficientes puntos, rectas y planos para evitar casos degenerados (como un espacio con solo una recta).
- Ejemplo:
- Axioma I2: Toda recta contiene al menos dos puntos, y existen al menos tres puntos no colineales.
Establecen la dimensionalidad del espacio:
- Introducen la existencia de puntos fuera de una recta (para definir planos) y puntos fuera de un plano (para asegurar el espacio tridimensional).
- Ejemplo:
- Axioma I3: Dada una recta, existe un punto que no pertenece a ella.
- Axioma I6: Dado un plano, existe un punto fuera de él.
Vinculan rectas y planos:
- Si dos puntos de una recta están en un plano, toda la recta está contenida en él (Axioma I7).
- La intersección de dos planos distintos es una recta (Axioma I8).
Contenido específico de los axiomas
Grupo I: Puntos y rectas
- I1: Dos puntos determinan una única recta.
- I2: Toda recta tiene al menos dos puntos.
- I3: Existe un punto fuera de cualquier recta dada.
Grupo II: Puntos y planos
- I4: Tres puntos no colineales determinan un único plano.
- I5: Todo plano contiene al menos tres puntos no colineales.
- I6: Existe un punto fuera de cualquier plano dado.
Grupo III: Rectas y planos
- I7: Si una recta tiene dos puntos en un plano, está totalmente contenida en él.
- I8: Dos planos distintos se intersecan en una recta.
Significado profundo
- Geometría puramente sintética: Los axiomas no usan coordenadas ni medidas, solo relaciones lógicas.
- Bases para la tridimensionalidad: El Axioma I6 impide que el espacio se colapse a un plano.
- Jerarquía de objetos:
Puntos → Rectas → Planos → Espacio
Ejemplo de aplicación
Teorema: Dos rectas distintas no pueden cortarse en más de un punto.
- Demostración: Si tuvieran dos puntos en común, por el Axioma I1, serían la misma recta.
Relación con otros sistemas
- Euclides: Hilbert evita definiciones intuitivas como «recta es lo que yace igualmente sobre sus puntos».
- Geometría proyectiva: Los axiomas de incidencia son compatibles, pero se elimina el paralelismo.
Estos axiomas son el esqueleto lógico sobre el que se construyen los conceptos de orden, congruencia y continuidad.
Mate 
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